扔骨头(答)

    假设外星人使用的木棍或骨头的长度为 R 。为了让故事看起来更吓人，我们就权当它用的是骨头吧。圆心为 o ，骨头一端与圆的交点为 P （见图 F14.1 ）。在圆上取一点 Q ，使 PQ ＝ L ，角 OPQ 的角度为 a 。我们想知道骨头的另一端落在圆内的概率是多少。经过计算，概率为 2a/2 π （如果用角的度数来表示的话，则为 2 a /360）。你可能会问，这是怎么算出来的？设想，骨头的一端固定在圆上， 另一端可以旋转 360度或2π×弧度。在所有的旋转结果中，当弧度为 2a 时，骨头的另一端留在圆内。

    F14.1 扔骨头难题的答案

    接下来，要确定 a的数值。有了三角形 OPQ ，我们就可以利用余弦定律和图 F14.1中的变量来计算角a的角度：

    R 2 =L 2 +R 2 -2RLcos （ a ）

    在已知对角及另外两边长度的情况下，通常用余弦定律来计算三角形的一边的长度。在已知三角形三边长度的情况下，也可以利用余弦定律来计算三个角的大小。（你在下文就会看到如何绕开这个公式。）

    在第一个问题里，骨头的长度与圆的半径相同，因此， L ＝ R ，角 OPQ 为等边三角形， OP=PQ=R 。利用余弦定律，我们可以计算出 cos （ a ）＝ 1/2 ， a ＝ π /3。由此可见，概率时2π/3除以2π，结果为1/3。如果你扔出一根骨头，让其一端恰好落在外星人画的圆上且另一端落在圆内的机会为33％。多萝茜给这个外星人起了个名字，叫33％。

    当然喽，要解开这道题，我们不一定非用余弦定律不可。假如你看出 OPQ 是个等边三角形，你就知道 a ＝ 60 ° ，或者， a ＝π /3×半径。

    假如骨头的长度 L ＝ 2R ，经过计算， cos （ a ）＝ 1 ， a ＝ 0 。由此可见，假如骨头是一根长度为 2R 的线段（ 2R 为圆的直径


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